【題目】已知函數
.（
為自然對數的底數）
（1）當
時，設
，求函數
在
上的最值；
（2）當
時，證明：
，其中
（
表示
中較小的數.）
【答案】（1）最小值為
，最大值為
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）由題意知
，令其導數為0，解得
，從而可探究
在
的單調性，可直接確定其最小值，通過作差法可比較
，
的大小，從而可求最大值.
（2）分成
，
兩種情況，通過對所證不等式進行變形.第一種情況下等價于證明
，設
，通過導數法可證明
在
上單調遞增，由 
，所以
；第二種情況下等價于證明
，由（1）知，
，及
，
，所以
，設
，通過導數可證明
在上單調遞增，由
，所以
，從而可證明.
解：（1）當
時，，
，則
，
令
，得，當
時，
；當
時，
.
所以函數在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，
從而在上的最小值為
.因為，，
，
所以
，從而在上的最大值為.
（2）①當，即
時，
.
設，則
.
令
，則
，
因為，所以
，因為，所以
，
當且僅當且
時，等號成立.從而
在上單調遞增.
注意到
，所以
，從而在上單調遞增.
注意到，所以，原不等式成立.
②當，即時，
.
，
由（1）知，，及，，所以.
設，，則
，
所以在上單調遞增.注意到，所以，原不等式成立.
綜上，當時，
，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，
平面ABCD，
，
，
，
，
，
.
（1）證明：
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）設Q為線段PD上的點，且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】元朝著名的數學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景，設計了如圖所示的程序框圖，若輸入的
，輸出的
，則判斷框中可以填（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班級有60名學生，學號分別為1～60，其中男生35人，女生25人．為了了解學生的體質情況，甲、乙兩人對全班最近一次體育測試的成績分別進行了隨機抽樣．其中一人用的是系統抽樣，另一人用的是分層抽樣，他們得到各12人的樣本數據如下所示，并規定體育成績大于或等于80人為優秀．
甲抽取的樣本數據：
學號 | 4 | 9 | 14 | 19 | 24 | 29 | 34 | 39 | 44 | 49 | 54 | 59 |
性別 | 男 | 女 | 男 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 女 | 男 | 男 |
體育成績 | 90 | 80 | 75 | 80 | 83 | 85 | 75 | 80 | 70 | 80 | 83 | 70 |
女抽取的樣本數據：
學號 | 1 | 8 | 10 | 20 | 23 | 28 | 33 | 35 | 43 | 48 | 52 | 57 |
性別 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 女 | 女 | 女 | 女 | 女 |
體育成績 | 95 | 85 | 85 | 80 | 70 | 80 | 80 | 65 | 70 | 60 | 70 | 80 |
（Ⅰ）在乙抽取的樣本中任取4人，記這4人中體育成績優秀的學生人數為
，求的分布列和數學期望；
（Ⅱ）請你根據乙抽取的樣本數據，判斷是否有95%的把握認為體育成績是否為優秀和性別有關；
（Ⅲ）判斷甲、乙各用的何種抽樣方法，并根據（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優，說明理由．
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，已知點
，直線
，動點
到點
的距離比它到直線
的距離小2.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）設斜率為2的直線與曲線交于
、
兩點（點在第一象限），過點作
軸的平行線
，問在坐標平面中是否存在定點
，使直線
交直線于點
，且
恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】年前某市質監部門根據質量管理考核指標對本地的500家食品生產企業進行考核，然后通過隨機抽樣抽取其中的50家，統計其考核成績（單位：分），并制成如下頻率分布直方圖.
（1）求這50家食品生產企業考核成績的平均數
（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）及中位數a（精確到0.01）
（2）該市質監部門打算舉辦食品生產企業質量交流會，并從這50家食品生產企業中隨機抽取4家考核成績不低于88分的企業發言，記抽到的企業中考核成績在
的企業數為X，求X的分布列與數學期望
（3）若該市食品生產企業的考核成績X服從正態分布
其中
近似為50家食品生產企業考核成績的平均數，
近似為樣本方差
，經計算得
，利用該正態分布，估計該市500家食品生產企業質量管理考核成績高于90.06分的有多少家?（結果保留整數）.
附參考數據與公式：
則
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左頂點為
，左、右焦點分別為
，離心率為
，
是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且
的周長為6，點關于原點的對稱點為
，直線
交于點
.
（1）求橢圓方程；
（2）若直線
與橢圓交于另一點
，且
，求點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高中某班共有40個學生，將學生的身高分成4組：平頻率/組距
，
，
，
進行統計，作成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中
的值和身高在內的人數；
（2）求這40個學生平均身高的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）（精確到0.01）．
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