Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）設(shè)Q為線段PD上的點(diǎn)，且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明．

（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（3）設(shè)為線段上的點(diǎn)，，，，，，求出，由平面的法向量，且直線和平面所成角的正弦值為，利用向量法能求出結(jié)果．

解：（1）證明：∵在四棱錐中，平面ABCD，

，，，，，.

∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

∴，∴.

（2）解：，，，

設(shè)平面APC的法向量，

則，

取，得，

平面PCD的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則.

∴二面角的余弦值為.

（3）解：設(shè)Q為線段PD上的點(diǎn)，，

，

則，

解得，，，

∴，，

∵平面PAC的法向量，

且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，

∴，

解得或（舍），

∴.