Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點為F，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，交雙曲線C于點M，|FM|=|HM|，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  6

  2

• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設一漸近線方程為 y=

b

a

x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），代入漸近線方程求得H的坐標，有中點公式求得中點M的坐標，再把點M的坐標代入雙曲線求得離心率．

解答： 解：由題意可知，一漸近線方程為 y=

b

a

x，則F₂H的方程為 y-0=k（x-c），
代入漸近線方程 y=

b

a

x 可得
H的坐標為 （

a2

c

，

ab

c

），
故F₂H的中點M （

c+ a2 c

2

，

ab

2c

），
∵|FM|=|HM|，
∴點M在雙曲線C上，
∴

( c+ a2 c 2 )2

a2

-

( ab 2c )2

b2

=1，
∴

c2

a2

=e2=2，
故e=

2

，
故選：D

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．