Question

已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為，過橢圓的右焦點的動直線與橢圓相交于、兩點.

（1）求橢圓的方程;

（2）若線段中點的橫坐標為,求直線的方程;

（3）若線段的垂直平分線與軸相交于點.設弦的中點為,試求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）;（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論;（3）涉及弦長的問題時，應熟練地利用根與系數的關系，設而不求計算弦長；直線與圓錐曲線相交所得中的弦問題，就解析幾何的內容之一，一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在的直線方程；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（4）弦長為定值時，弦中點的坐標問題，其解法有代點相減法、設而不求法、參數法、待定系數法及中心對稱變換法.

試題解析：解:（1）依題意，有，

即， ，又

解得

則橢圓方程為

（2）由（1）知，所以設過橢圓的右焦點的動直線的方程為

將其代入中得，，

，設,,

則 ，∴，

因為中點的橫坐標為，所以，解得

所以，直線的方程

（3）由（2）知,

所以的中點為

所以

直線的方程為, 由,得,

則, 所以

所以

又因為,所以.所以.

所以的取值范圍是

考點：1、求橢圓的標準方程；2、弦中點所在的直線方程；3、弦中點的問題.