Question

3．設向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，則向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 對|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$兩邊平方計算|$\overrightarrow{b}$|，根據向量的數量積的定義計算向量的夾角的余弦值，再代入投影公式計算．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，∴|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{27}{2}$，
即9+3+|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{27}{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ，
即$\frac{3}{2}$=3×$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosθ，∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影為|$\overrightarrow{a}$|cosθ=3×$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于基礎題．