Question

8．在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cost\\ y=-1+\sqrt{2}sint\end{array}\right.$，（t為參數），在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A，B兩點的極坐標為$（{1，\frac{π}{2}}），（{1，π}）$．
（1）求圓C的普通方程和直線L的直角坐標方程；
（2）點P是圓C上任意一點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數關系式，消去t可得圓C的普通方程，利用余弦的兩角和與差打開，x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直線L的直角坐標方程；
（2）將A，B兩點的極坐標化為直角坐標．求出AB的距離，利用參數坐標設出點P．可得△PAB面積的關系式，求最大值即可．

解答 解：（1）圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cost\\ y=-1+\sqrt{2}sint\end{array}\right.$，（t為參數），可得：$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}cost}\\{1+y=\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}=2co{s}^{2}t}\\{（y+1）^{2}=2si{n}^{2}t}\end{array}\right.$
可得：（x-1）²+（y+1）²=2，
即圓C的普通方程為：（x-1）²+（y+1）²=2，
直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可得：$ρcosθ×cos\frac{π}{4}-ρsinθ×sin\frac{π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：x-y+1=0．
∴直線L的直角坐標方程為x-y+1=0．
（2）A，B兩點的極坐標為$（{1，\frac{π}{2}}），（{1，π}）$．
化簡直角坐標為A（0，1），B（-1，0），可得A，B在直線直線l上．|AB|=$\sqrt{2}$．
點P是圓C上，設P（1$+\sqrt{2}cost$，$-1+\sqrt{2}sint$），
則P到直線l的距離d=$\frac{|1+\sqrt{2}cost+1-\sqrt{2}sint+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|3+2cos（t+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{2}}$
∴$p9vv5xb5_{max}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴△PAB面積的最大值為：$S=\frac{1}{2}|AB|×p9vv5xb5_{max}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程，極坐標化為直角坐標的問題．點到直線的距離公式求最值問題．屬于中檔題．