Question

4．定義點P（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的有向距離為d=$\frac{{A{x_0}+B{y_0}+C}}{{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}}$．已知點P₁，P₂到直線l的有向距離分別是d₁，d₂，給出以下命題：
①若d₁=d₂，則直線P₁P₂與直線l平行；
②若d₁=-d₂，則直線P₁P₂與直線l垂直；
③若d₁•d₂＞0，則直線P₁P₂與直線l平行或相交；
④若d₁•d₂＜0，則直線P₁P₂與直線l相交，
其中所有正確命題的序號是③④．

Answer 1

分析 根據有向距離的定義，及點P（x₀，y₀）與Ax₁+By₁+C的符號，分別對直線P₁P₂與直線l的位置關系進行判斷．

解答 解：對于①，若d₁-d₂=0，則若d₁=d₂，∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0時，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點P₁，P₂都在直線l，∴此時直線P₁P₂與直線l重合，∴①錯誤．
對于②，由①知，若d₁=d₂=0時，滿足d₁+d₂=0，
但此時Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點P₁，P₂都在直線l，∴此時直線P₁P₂與直線l重合，∴②錯誤．
對于③，若d₁•d₂＞0，即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＞0，
∴點P₁，P₂分別位于直線l的同側，∴直線P₁P₂與直線l相交或平行，∴③正確；
對于④，若d₁•d₂＜0，即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴點P₁，P₂分別位于直線l的兩側，∴直線P₁P₂與直線l相交，∴④正確．
故答案為：③④．

點評 本題主要考查與直線距離有關的命題的判斷，利用條件推出點與直線的位置關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，屬于難題．