Question

16．已知圓錐的高PO=4，底面半徑OB=2，E為母線PB的中點，C為底面圓周上一點，滿足OB⊥OC，F為弧BC上一點，且∠BOF=$\frac{π}{3}$．
（1）求證EF∥平面POC；
（2）求三棱錐E-OCF的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，取OB的中點M，連接FM，FB，FB．利用等邊三角形的性質可得FM⊥OB，又OB⊥OC，可得FM∥OC，可得FM∥平面POC．利用三角形中位線定理可得EM∥OP，可得EM∥平面POC．可得平面EFM∥平面POC．即可證明．
（2）由（1）可得EM⊥平面OBC，EM=$\frac{1}{2}OP$．S_△OCF=$\frac{1}{2}×OC×OF×sin3{0}^{°}$．可得三棱錐E-OCF的體積V=$\frac{1}{3}×EM×{S}_{△OCF}$．

解答 解：（1）如圖所示，取OB的中點M，連接FM，FB，FB．
則△OFB為等邊三角形，FM⊥OB，又OB⊥OC，
∴FM∥OC，又FM?平面POC，OC?平面POC．
∴FM∥平面POC．
又E為PB的中點，∴EM∥OP，同理可得EM∥平面POC．
又FM∩EM=M．
∴平面EFM∥平面POC．
∴EF∥平面POC．
（2）由（1）可得EM⊥平面OBC，EM=$\frac{1}{2}OP$=2．
S_△OCF=$\frac{1}{2}×OC×OF×sin3{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{1}{2}$=1．
∴三棱錐E-OCF的體積V=$\frac{1}{3}×EM×{S}_{△OCF}$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式、，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．