Question

若正數x，y滿足

4

x

+

1

y

=1，那么使不等式x+y-m＞0恒成立的實數m的取值范圍是

（-∞，9）

．

Answer 1

分析：不等式x+y-m＞0恒成立?m＜（x+y）_min．由正數x，y滿足

4

x

+

1

y

=1，利用基本不等式可得x+y=(x+y)(

4

x

+

1

y

)=5+

4y

x

+

x

y

≥5+2

4y x • x y

．

解答：解：∵不等式x+y-m＞0恒成立?m＜（x+y）_min．
∵正數x，y滿足

4

x

+

1

y

=1，
∴x+y=(x+y)(

4

x

+

1

y

)=5+

4y

x

+

x

y

≥5+2

4y x • x y

=9，當且僅當y=3，x=6時取等號．
∴使不等式x+y-m＞0恒成立的實數m的取值范圍是（-∞，9）．
故答案為（-∞，9）．

點評：正確等價轉化和熟練掌握基本不等式的性質是解題的關鍵．