Question

定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時f（x）=-2（x-3）²，若函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍為（　　）

A．(0， 2 2 )

B．(0， 3 3 )

C．(0， 5 5 )

D．(0， 6 6 )

Answer 1

由f（x+2）=f（x）-f（1）得f（x+2）+f（1）=f（x），以-x代x，得f（-x+2）+f（1）=f（-x），
由于f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x），得出f（x+2）=f（-x+2）①，可知f（x）圖象以x=2為對稱軸．
在f（x+2）=f（x）-f（1），令x=-1，得出f（1）=f（-1）-f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）周期T=2，
作出f（x）的圖象，
∵y=log_a（x+1）的圖象與f（x）的圖象至少有三個交點，即有log_a（2+1）＞f（2）=-2且0＜a＜1，解得a∈(0，

3

3

)，
故選B．