Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（e是自然對數的底數，a為常數）是實數集R上的奇函數，若函數g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個零點，則實數m的取值范圍是（　　）

A．（ 1 e ，e2+ 1 e ）

B．（0，e2+ 1 e ）

C．（e2+ 1 e ，+∞）

D．（-∞，e2+ 1 e ）

Answer 1

∵函數f（x）=ln（e^x+a）是實數集R上的奇函數，
∴f（0）=0，即f（0）=ln（1+a）=0，解得a=0，即f（x）=lne^x=x．
∴g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=lnx-x（x²-2ex+m），
由g（x）=lnx-x（x²-2ex+m）=0，得

lnx

x

=x²-2ex+m，
設h（x）=

lnx

x

，m（x）=x²-2ex+m，
則m（x）=（x-e）²+m-e²≥m-e²，
h'（x）=

1-lnx

x2

，由h'（x）＞0，得0＜x＜e，此時函數單調遞增，
由h'（x）＜0，得x＞e，此時函數單調遞減，
∴當x=e時，函數h（x）取得最大值h（e）=

lne

e

=

1

e

，
要使g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個零點，
則

1

e

＞m-e2，即m＜

1

e

+e2．
故選D．