Question

已知tanα=

1

7

，sinβ=

10

10

，α、β為銳角，求證：α+2β=

π

4

．

Answer 1

分析：由sinβ的值和β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cosβ的值，進而求出tanβ的值，然后利用二倍角正切函數公式求出tan2β的值，由tanα的值和求出的tan2β的值，利用兩角和的正切函數公式求出α+2β的正切值，然后根據α和β為銳角以及tanα和tanβ的值，根據特殊角的三角函數值即可得證．

解答：證明：∵α、β為銳角，sinβ=

10

10

，
∴cosβ=

1- ( 10 10 )2

=

3 10

10

，tanβ=

1

3

，
∴tan2β=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

，又tanα=

1

7

＜1，
則tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
∵α+2β∈（0，

3π

2

），得到α+2β可以為

π

4

或

5π

4

，
根據tanα=

1

7

，得到α＜

π

4

；tanβ=

1

3

，得到β＜

π

4

，
所以α+2β=

π

4

點評：此題要求學生掌握同角三角函數間的基本關系，以及兩角和的正切函數公式，是一道證明題．學生在求α+2β值的時候，注意利用α與β的范圍以及tanα與tanβ值的范圍來判斷得到符合題意的值．