Question

（1）求函數f（x）=2sin（π-x）sin（

π

2

-x）+2

3

sin²x-

3

的單調遞減區間；
（2）已知tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，并且α，β∈（0，

π

2

），求α+2β的值．

Answer 1

分析：（1）將函數解析式先利用誘導公式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式變形，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由正弦函數的遞增區間，即可得到函數的遞增區間；
（2）由tanβ的值，利用二倍角的正切函數公式求出tan2β的值，利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan（α+2β），將各自的值代入求出tan（α+2β）的值，利用特殊角的三角函數值即可求出α+2β的度數．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x+2

3

•

1-cos2x

2

-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
則f（x）的單調遞減區間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）∵tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

3

4

，
∴tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
∵tanα=

1

7

＜1，tanβ=

1

3

＜1，且α，β∈（0，

π

2

），
∴0＜α＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，
∴0＜α+2β＜

3π

4

，
∴α+2β=

π

4

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正切函數公式，正弦函數的單調性，以及誘導公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．