Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（cosx，2cosx），函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數f（x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的坐標運算公式，結合輔助角公式化簡可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，結合正弦函數的圖象與性質，即可得到求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）因為x∈[

π

4

，

3π

4

]，所以2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，再根據正弦函數的單調性即可得到函數f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（cosx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
由此可得：函數的最小正周期是

2π

2

=π，最大值是

2

+1；
（2）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

結合正弦函數的圖象，可得sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1的最大值為f（

π

4

）=2，
最小值是為f（

5π

8

）=1-

2

．

點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數的單調增區間與最值，著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．