Question

3．△ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanA•tanB，則△ABC的面積為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $3\sqrt{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由題意可知：求得tanC=$\sqrt{3}$．則C=60°．由余弦定理可知：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，由a=4，b+c=5，C=60°，即可求得b的值，由三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：∵tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$，
化簡得，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
由題意可知：tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanA•tanB，
∴tanC=$\sqrt{3}$．
由A，B，C為三角形的內(nèi)角，
∴C=60°．
由余弦定理可知：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
由a=4，b+c=5，C=60°，解得：b=$\frac{3}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故選C．

點評 本題主要考查了解三角形的實際應用．可知兩角和的正切公式，余弦定理的應用，考查了學生綜合分析問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．