Question

已知函數f（x）=x³-6x²-1．
（1）求函數f（x）的單調區間與極值；
（2）設g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-6x²-1，
∴f′（x）=3x²-12x，
由f′（x）=3x²-12x=0，得x₁=0，x₂=4，
列表討論，得：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表知：f（x）的增區間為（-∞，0），（4，+∞），減區間為（0，4）．
當x=0時，f（x）取極大值f（0）=-1；
當x=4時，f（x）取極小值f（4）=64-6×16-1=-33．
（2）∵g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立
∴f（x）-c≥2c+1對?x∈[-1，2]恒成立，
∴3c+1≤f（x）在[-1，2]上恒成立．
∵由f′（x）=3x²-12x=0，得x₁=0∈[-1，2]，x₂=4∉[-1，2]，舍，
f（-1）=-1-6-1=-8，
f（0）=0-0-1=-1，
f（2）=8-24-1=-17，
∴x∈[-1，2]時，f（x）_min=f（2）=-17，
∴3c+1≤-17，
∴c≤-6．
故c的取值范圍是（-∞，-6]．