Question

已知函數f（x）=x²-2lnx+a（a為實常數）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求f（x）在區間[

1

2

，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

（1）函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=2x-

2

x

，
令f′（x）＞0，有

x2-1＞0 x＞0

，解之得x＞1，
令f′（x）＜0，有

x2-1＜0 x＞0

，得0＜x＜1，
所以函數f（x）的單調減區間為（0，1），f（x）的單調增區間為（1，+∞）．
（2）當x在[

1

2

，2]上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

由表知，函數f（x）_min=1-a，
又f(

1

2

)=(

1

2

)2-2ln

1

2

+a=

1

4

+2ln2+a，f（2）=2²-2ln2+a=4-2ln2+a，
f(

1

2

)-f(2)=(

1

4

+2ln2+a)-(4-2ln2+a)=4ln2-

15

4

＜0，
所以f（x）_max=4-2ln2+a．