Question

12．已知f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在區間（-1，1）內為減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）對于實數a的不同取值，試討論y=f（x）在（-1，1）內的極值點的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出導函數，根據題意問題等價為g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，再根據二次函數的性質轉化為：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可，
（Ⅱ）分類討論．利用導數的正負，即可得出y=f（x）在（-1，1）內的極值點的個數．

解答 解：（Ⅰ）對函數g（x）求導得，f'（x）=2x²-4ax-3，
∵f（x）在區間（-1，1）內為減函數，
∴f'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，
結合二次函數的圖象和性質，
問題等價為：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4a-1≤0}\\{-4a-1≤0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$，
∴實數a的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]，
（Ⅱ）當a＜-$\frac{1}{4}$時，f′（-1）=4a-1＜0，f′（1）=-4a-1＞0
∴f（x）在（-1，1）內有且只有一個極小值點，
當a＞$\frac{1}{4}$時，f′（-1）=4a-1＞0，f′（1）=-4a-1＜0，
∴f（x）在（-1，1）內有且只有一個極大值點，
當-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$時，由（Ⅰ）可知在區間（-1，1）上為減函數，
∴f（x）在區間（-1，1）內沒有極值點．
綜上可知，當a＜-$\frac{1}{4}$或a＞$\frac{1}{4}$時，函數在區間（-1，1）內的極值點個數為1；當-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$時，在區間（-1，1）內的極值點個數為0．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．