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12.已知f(x)=$\frac{2}{3}$x3-2ax2-3x(a∈R).
(Ⅰ)若f(x)在區間(-1,1)內為減函數,求實數a的取值范圍;
(Ⅱ)對于實數a的不同取值,試討論y=f(x)在(-1,1)內的極值點的個數.

分析 (Ⅰ)先求出導函數,根據題意問題等價為g'(x)≤0在x∈(-1,1)上恒成立,再根據二次函數的性質轉化為:$\left\{\begin{array}{l}{f′(-1)≤0}\\{f′(1)≤0}\end{array}\right.$,解出即可,
(Ⅱ)分類討論.利用導數的正負,即可得出y=f(x)在(-1,1)內的極值點的個數.

解答 解:(Ⅰ)對函數g(x)求導得,f'(x)=2x2-4ax-3,
∵f(x)在區間(-1,1)內為減函數,
∴f'(x)≤0在x∈(-1,1)上恒成立,
結合二次函數的圖象和性質,
問題等價為:$\left\{\begin{array}{l}{f′(-1)≤0}\\{f′(1)≤0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{4a-1≤0}\\{-4a-1≤0}\end{array}\right.$,
解得-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$,
∴實數a的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$],
(Ⅱ)當a<-$\frac{1}{4}$時,f′(-1)=4a-1<0,f′(1)=-4a-1>0
∴f(x)在(-1,1)內有且只有一個極小值點,
當a>$\frac{1}{4}$時,f′(-1)=4a-1>0,f′(1)=-4a-1<0,
∴f(x)在(-1,1)內有且只有一個極大值點,
當-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$時,由(Ⅰ)可知在區間(-1,1)上為減函數,
∴f(x)在區間(-1,1)內沒有極值點.
綜上可知,當a<-$\frac{1}{4}$或a>$\frac{1}{4}$時,函數在區間(-1,1)內的極值點個數為1;當-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$時,在區間(-1,1)內的極值點個數為0.

點評 本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性,考查函數的極值,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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