Question

【題目】在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，FB是圓臺的一條母線．
（I）已知G，H分別為EC，FB的中點，求證：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取FC中點Q，連結GQ、QH，∵G、H為EC、FB的中點，
∴GQ ，QH ，
又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0， ，3），
=（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0），
由題意可知面ABC的法向量為 =（0，0，3），
設 =（x0 ， y0 ， z0）為面FCB的法向量，
則 ，即 ，
取x0=1，則 =（1，﹣1，﹣ ），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是銳角，
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取FC中點Q，連結GQ、QH，推導出平面GQH∥平面ABC，由此能證明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．