Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，銳角α，β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{3}{5}$，點B的橫坐標為$\frac{5}{13}$，求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）已知點C$（-2，2\sqrt{3}）$，求函數f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出cosβ，sinβ，代入cos（α+β）即可；（Ⅱ）求出$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$，得到f（α），根據$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，求出f（α）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）∵α是銳角，sinα=$\frac{3}{5}$，∴cosα=$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
根據三角函數的定義，得cosβ=$\frac{5}{13}$，
又∵β是銳角，∴sinβ=$\sqrt{1{-cos}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$=-$\frac{16}{65}$．
（Ⅱ）由題意可知，$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OC}$=（2$\sqrt{3}$，-2），
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=2$\sqrt{3}$cosα-2sinα=4cos（α+$\frac{π}{6}$），
∵0＜a＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cos（α+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
從而-2＜f（α）＜2$\sqrt{3}$，
∴函數f（α）的值域為（-2，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了三角函數問題，考查向量問題，是一道中檔題．