Question

4．設f（x）=e^x（-x²+x+1），且對?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，|f（cosθ）-f（sinθ）|≤b恒成立，則b的最小值為（　　）

• A． e-1
• B． e
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意：對?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，令m=cosθ，在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞減．∴f（m）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞減．令n=sinθ在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞增．f（n）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞增．
當θ=0時，m取得最大值為1，n取值最小值為0，所以y=[f（cosθ）-f（sinθ）]是減函數，即可y的最大時θ=0，求解出b的最小值．

解答 解：由題意：f（x）=e^x（-x²+x+1），
對?$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$，
令m=cosθ，在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞減．
∴f（m）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞減．
令n=sinθ在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞增．
f（n）在$θ∈[0\;，\;\;\frac{π}{2}]$是單調遞增．
當θ=0時，m取得最大值為1，
n取值最小值為0，
那么|f（cosθ）-f（sinθ）|=|f（1）-f（0）|=|e-1|
要使|f（cosθ）-f（sinθ）|≤b恒成立，
只需|e-1|≤b，
解得：b≥e-1，
所以b的最小值e-1．
故選A．

點評 本題本題主要考查了函數恒成立問題的求解，利用復合函數的性質及單調性的應用．屬于中檔題．