Question

設計一種正四棱柱形冰箱，它有一個冷凍室和一個冷藏室，冷藏室用兩層隔板分為三個抽屜，問：如何設計它的外形尺寸，能使得冰箱體積V=0.5（m³）為定值時，它的表面和三層隔板（包括冷凍室的底層）面積之和S值最小．（參考數據：

3	0.2

≈0.58，

3	0.5

≈0.79，0.58²=0.3364，0.79²=0.6241）

Answer 1

分析：設水箱的底面邊長為x（m），則高為

0.5

x2

(m)，得出S=5x2+4x•

0.5

x2

=5x2+

2

x

(x＞0)
方法1：求出s′=0時的駐點，分區間函數S在(0，

3	0.2

)上遞減，在(

3	0.2，

+∞)上遞增，得到函數的最小值即可；
方法2：利用a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求出此時的x值并求出高即可．

解答：解：設水箱的底面邊長為x（m），則高為

0.5

x2

(m)，S=5x2+4x•

0.5

x2

=5x2+

2

x

(x＞0)
法1：S/=10x-

2

x2

，
由S/＞0?x＞

3	0.2

，S/＜0?0＜x＜

3	0.2

，
∴函數S在(0，

3	0.2

)上遞減，在(

3	0.2，

+∞)上遞增，
∴x=

3	0.2

≈0.58時，S有最小值，此時

0.5

x2

≈1.49
法2：S=5x2+

1

x

+

1

x

≥3•

3	5x2• 1 x • 1 x

=3

3	5

（當且僅當5x2=

1

x2

即x=

3	0.2

≈0.58時，取等號）
∴x=

3	0.2

≈0.58時，S有最小值3

3	5

，此時

0.5

x2

≈1.49
答：冰箱底面正方形邊長為0.58m，高度為1.49m時，它的表面和三層隔板（包括冷凍室的底層）面積之和S值最小．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及會用導數求閉區間上函數的最值和利用公式a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求函數最值的能力．