Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+2x+c，若不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}.

（1）求f（x）的解析式；

（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+2]上的最小值為-5，求實(shí)數(shù)m的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）1或5

【解析】

利用二次函數(shù)小于零的解集，可以判斷-4，2時f(x)=0的解，利用韋達(dá)定理，可求得a，c的值；根據(jù)單調(diào)性定義法（1.取值，2作差，3定號，4下結(jié)論），證明函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)最小值，從而求得m值

因為不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}.所以-4，2方程ax2+2x+c=0的兩個是根，利用韋達(dá)定理：，解的：a=1,c=-8；故：

任取

則f（x1）-f（x2）=（x12+2x1-8）-（x22+2x2-8）=（x21- x22）+ 2（x1-x2）

=（x1+x2）（x1-x2）+ 2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+2）

因為：

所以：x1-x2<0,x1+x2+2>0,故：f（x1）-f（x2）<0,因此：f（x1）<f（x2）

所以： f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)

（3）由（1）知：，對稱軸：x=-1,

因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+2]上的最小值為-5，故對稱軸落在區(qū)間[m，m+2]中，

由于f(x)在區(qū)間

當(dāng)m>-1時，f（x）在區(qū)間[m，m+2]上為遞增，則最小值

解得：m=-3(舍)，m=1

當(dāng)m<-3時，f（x）在區(qū)間[m，m+2]上為遞減，

則最小值，

解得：m=-5或m=-1(舍)

故：答案為：m=1或m=-5