Question

19．如圖，已知E，F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點，現將正方形沿EF折成60°的二面角，則異面角直線AE與BF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 連接BD，由AE∥DF，知∠DFB即為異面直線FB與AE所成角，由此能求出異面角直線AE與BF所成角的余弦值．

解答 解：如圖，連接BD，∵AE∥DF，
∴∠DFB即為異面直線FB與AE所成角
設正方形ABCD的邊長為2，
則在△BDF中，
DF=1，BF=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{1+1+4-2×1×1×cos60°}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DFB=$\frac{D{F}^{2}+B{F}^{2}-B{D}^{2}}{2×DF×BF}$=$\frac{1+5-5}{2×1×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．