Question

8．設（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…$+{（1+x）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+$…$+{a_{10}}{x^{10}}$，則a₂的值是165．

Answer 1

分析 （1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…$+{（1+x）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+$…$+{a_{10}}{x^{10}}$，對兩邊兩次求導，再令x=0即可得出．

解答 解：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…$+{（1+x）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+$…$+{a_{10}}{x^{10}}$，
兩邊求導可得：1+2（1+x）+3（1+x）²+…+10（1+x）⁹=a₁+2a₂x+…+10${a}_{10}{x}^{9}$，
兩邊求導可得：2+3×2（1+x）+…+10×9×（1+x）⁸=2a₂+3×2a₃x…+10×$9{a}_{10}{x}^{8}$，
令x=0，可得：2+3×2+4×3+…+10×9=2a₂，
解得a₂=165．
故答案為：165．

點評 本題考查了導數的運算法則、二項式定理的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．