Question

（2012•珠海二模）已知圓C方程：（x-1）²+y²=9，垂直于x軸的直線L與圓C相切于N點（N在圓心C的右側(cè)），平面上有一動點P，若PQ⊥L，垂足為Q，且

|PC|

|PQ|

=

1

2

；
（1）求點P的軌跡方程；
（2）已知D為點P的軌跡曲線上第一象限弧上一點，O為原點，A、B分別為點P的軌跡曲線與x，y軸的正半軸的交點，求四邊形OADB的最大面積及D點坐標．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標，利用

|PC|

|PQ|

=

1

2

，建立方程，化簡可得點P的軌跡方程；
（2）先表示出四邊形OADB的面積，利用輔助角公式化簡，結合角的范圍，即可求得結論．

解答：解：（1）設P點坐標為（x，y），則PQ=|4-x|，…（2分），PC=

(x-1)2+y2

…（3分）
因為

|PC|

|PQ|

=

1

2

，所以

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，…（4分）
化簡得

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
所以點P的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）依題意得，A點坐標為（2，0），B點坐標為(0，

3

)…（7分）
設D點坐標為(2cosθ，

3

sinθ)，(0＜θ＜

π

2

)，…（8分）
則四邊形OADB的面積S_{四邊形OADB}=S_△OAD+S_△OBD=

1

2

×2×

3

sinθ+

1

2

×

3

×2cosθ…（10分）
=

3

(sinθ+cosθ)=

6

sin(θ+

π

4

)…（11分）
又因為0＜θ＜

π

2

，所以

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

…（12分）
所以

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1，即

3

＜

6

sin(θ+

π

4

)≤

6

所以四邊形OADB的最大面積為

6

，…（13分）
當四邊形OADB的面積取最大時，θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

，
此時D點坐標為(

2

，

6

2

)…（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查三角函數(shù)知識，考查學生的計算能力，正確表示四邊形OADB的面積是關鍵．