Question

已知函數f（x）=-2x+4，令S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+f（

3

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）．
（1）求S_n；
（2）設b_n=

an

Sn

（a∈R）且b_n＜b_n+1對所有正整數n恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：計算題,函數的性質及應用,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）計算可得，f（x）+f（1-x）=6，令S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+f（

3

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），則S_n=f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+f（

n-3

n

）+…+f（

1

n

）+f（1）．兩式相加，即可得到S_n；
（2）由于b_n＜b_n+1對所有正整數n恒成立，即有

an

3n-1

＜

an+1

3n+2

，即為a＞

3n+2

3n-1

，由數列的單調性，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=-2x+4，則f（1-x）=4-2（1-x）=2+2x，
即有f（x）+f（1-x）=6，
令S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+f（

3

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），
則S_n=f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）+f（

n-3

n

）+…+f（

1

n

）+f（1）．
上面兩式相加，可得2S_n=6（n-1）+2×2，
則有S_n=3n-1；
（2）由于b_n=

an

Sn

=

an

3n-1

，則b_n+1=

an+1

3n+2

，
且b_n＜b_n+1對所有正整數n恒成立，
即有

an

3n-1

＜

an+1

3n+2

，即為a＞

3n+2

3n-1

=1+

3

3n-1

，
由于

3

3n-1

為遞減數列，則n=1時，取得最大值

3

2

，
則a＞

5

2

．
則a的取值范圍是（

5

2

，+∞）．

點評：本題考查數列的求和方法：倒序求和，考查數列的單調性和運用，考查運算能力，屬于中檔題．