Question

方程x³-

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x²+6x-a=0有且只有1個實數根，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：設f（x）=x³-

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x²+6x-a，方程有且只有1個實數根等價于極大值小于0，或極小值大于0時，利用導數求極值即可得a的取值范圍．

解答： 解：設f（x）=x³-

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x²+6x-a，
則f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0，解得x＞2或x＜1，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜2，此時函數單調遞減，
即當x=1時，函數取得極大值f（1）=

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-a，
當x=2時，函數取得極小值f（2）=2-a，
要使方程x³-

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x²+6x-a=0有且只有1個實數根，
只需2-a＞0或

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-a＜0解得a＜2或a＞

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故答案為：a＜2或a＞

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點評：本題考查函數零點的個數，涉及導數法判函數的單調性和求極值，屬中檔題．