Question

已知數列{a_n}，對于n∈N⁺，點P（n，a_n）始終在函數f（x）=-2x+5的圖象上，
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等差數列．
（Ⅱ）求數列{a_n}前n項和S_n的最大值．

Answer 1

考點：等差數列的前n項和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=-2n+5，從而a₁=-2+5=3，a_n+1-a_n=-2（n+1）+5-（-2n+5）=-2，由此能證明數列{a_n}是首項為3，公差為-2的等差數列．
（Ⅱ）由已知得S_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+4n=-（n-2）²+4，由此能求出數列{a_n}前n項和S_n的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：∵數列{a_n}，對于n∈N⁺，
點P（n，a_n）始終在函數f（x）=-2x+5的圖象上，
∴a_n=-2n+5，
∴a₁=-2+5=3，
a_n+1-a_n=-2（n+1）+5-（-2n+5）=-2，
∴數列{a_n}是首項為3，公差為-2的等差數列．
（Ⅱ）解：∵數列{a_n}是首項為3，公差為-2的等差數列，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)
=-n²+4n=-（n-2）²+4，
∴n=2時，數列{a_n}前n項和S_n取最大值4．

點評：本題考查等差數列的證明，考查等差數列的前n項和的最大值的求法，是基礎題，解題時要注意等差數列的性質的合理運用．