Question

17．從一批土雞蛋中，隨機抽取n個得到一個樣本，其重量（單位：克）的頻數分布表如表：

分組（重量）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100）
頻數（個）	10	50	m	15

已知從n個土雞蛋中隨機抽取一個，抽到重量在[90，95）的土雞蛋的根底為$\frac{4}{19}$
（1）求出n，m的值及該樣本的眾數；
（2）用分層抽樣的方法從重量在[80，85）和[95，100）的土雞蛋中共抽取5個，再從這5個土雞蛋中任取2 個，其重量分別是g₁，g₂，求|g₁-g₂|≥10的概率？

Answer 1

分析 （1）依頻數分布表性質列出方程組，能求出n，m的值及該樣本的眾數．
（2）若采用分層抽樣的方法從重量在[80，85）和[95，100]的土雞蛋中共抽取5個，則重量在[80，85）的有職有2個，在[95，100]的個數有3個，從抽出的5個土雞蛋中，任取2個共有10種情況，要|g₁-g₂|＞10，則必須是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一個”，由此能求出從抽出的5個土雞蛋中，任取2個，重量滿足|g₁-g₂|≥10的概率．

解答 解：（1）依題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{n}=\frac{4}{19}}\\{n=10+50+15+m}\end{array}\right.$，
解得m=20，n=95．
眾數是：$\frac{85+90}{2}$=87.5．（3分）
（2）若采用分層抽樣的方法從重量在[80，85）和[95，100]的土雞蛋中共抽取5個，
則重量在[80，85）的個數為$\frac{10}{10+15}×5=2$，記為x，y，（4分）
在[95，100]的個數為$\frac{15}{10+15}×5$=3，記為a，b，c，（5分）
從抽出的5個土雞蛋中，任取2個共有：
（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y）10種情況．（7分）
要|g₁-g₂|＞10，則必須是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一個”，
這樣的情況共有（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c）6種．（9分）
設事件A表示“抽出的5個土雞蛋中，任取2個，重量滿足|g₁-g₂|＞10”，
則P（A）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴從抽出的5個土雞蛋中，任取2個，重量滿足|g₁-g₂|≥10的概率為$\frac{3}{5}$．（11分）

點評 本題考查實數值及樣本眾數的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布表性質、分層的抽樣、列舉法的合理運用．