Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，且對(duì)AB邊上任意一點(diǎn)N，恒有$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$≥$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$，則有（　　）

• A． AB⊥BC
• B． AB⊥AC
• C． AB=AC
• D． AC=BC

Answer 1

分析 分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，將$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$表示為向量等式，得到$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$取最小值是的位置即可得到正確答案．

解答 解：分別取AB，BC的中點(diǎn)D，E，所以$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$=（$\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EN}$）•（$\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EN}$）=|NE|²-|BE|²，
當(dāng)且僅當(dāng)N到E的距離最小時(shí)，$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$取最小值，
由題意，N與M重合時(shí)$\overrightarrow{NB}$•$\overrightarrow{NC}$取得最小值，因此M到E的距離最近，
所以EM⊥AB，而CD∥EM，所以CD⊥AB，而CD是中線，
所以CA=CB；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算；關(guān)鍵是結(jié)合幾何圖形得到不等式中等號(hào)成立時(shí)的位置．