Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的左焦點為F，點M是橢圓C上一點，點N是MF的中點，O是橢圓的中點，ON=4，則點M到橢圓C的左準線的距離為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由已知求得M到右焦點的距離，然后結合三種圓錐曲線統一的定義得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1，知a²=25，b²=9，
∴c²=a²-b²=16，∴c=4．
則e=$\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，
∵點N是MF的中點，O是橢圓的中心，ON=4，
∴|MF′|=8，則|MF|=2a-|MF′|=10-8=2，
設點M到橢圓C的左準線的距離為d，則$\frac{|MF|}p9vv5xb5=e=\frac{4}{5}$，得d=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，考查三種圓錐曲線統一定義的應用，是中檔題．