Question

11．（1）設函數$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，求證：函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）若f（x）=（log₄x-3）•log₄4x＞m在區間[1，2]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，可求得f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，可證得函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）依題意，可求得當x∈[1，2]時，[f（x）]_min=-$\frac{15}{4}$，f（x）=（log₄x-3）•log₄4x＞m在區間[1，2]上恒成立?m＜[f（x）]_min，從而可求得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）證明：∵$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∴f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）∵1≤x≤2，
∴0≤log₄x≤$\frac{1}{2}$，
又f（x）=（log₄x-3）•log₄4x=（log₄x-3）•（1+log₄x）=${{log}_{4}}^{2}x$-2log₄x-3=（log₄x-1）²-4，
∴當x=2，log₄x=$\frac{1}{2}$時，f（x）取得最小值，為f（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴f（x）＞m在區間[1，2]上恒成立?m＜[f（x）]_min=-$\frac{15}{4}$，
即實數m的取值范圍為（-∞，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查導數法判斷函數的單調性，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．