Question

4．若關于x的方程9^x+（a+4）•3^x+4=0有實數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-8]∪[0，+∞）
• B． （-∞，-4）
• C． [-8，-4）
• D． （-∞，-8]

Answer 1

分析 令3^x=t＞0，由條件可得a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}=-4-（t+\frac{4}{t}）$，利用基本不等式和不等式的性質求得實數a的取值范圍．

解答 解：令3^x=t＞0，則關于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正實數解．
故a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}=-4-（t+\frac{4}{t}）$，
由基本不等式可得：t+$\frac{4}{t}$≥4，當且僅當t=$\frac{4}{t}$時，等號成立，
∴-（t+$\frac{4}{t}$）≤-4，即-4-（t+$\frac{4}{t}$）≤-8，
∴a≤-8，
∴a的取值范圍是（-∞，-8]．
故選：D．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查利用基本不等式求最值問題，同時考查轉化思想和換元法，屬中檔題．