Question

已知圓C:(x-3)²+(y-4)²=4,直線l₁過定點A(1,0).

(1)若l₁與圓C相切,求l₁的方程.

(2)若l₁與圓C相交于P,Q兩點,求三角形CPQ的面積的最大值,并求此時直線l₁的方程.

Answer 1

 (1)①若直線l₁的斜率不存在,則直線l₁:x=1,符合題意.

②若直線l₁斜率存在,設直線l₁的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0.

由題意知,圓心(3,4)到已知直線l₁的距離等于半徑2,即:=2,解之得k=.

所求直線l₁的方程是x=1或3x-4y-3=0.

(2)直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,設直線方程為kx-y-k=0,

則圓心到直線l₁的距離d=,

又因為△CPQ的面積S=d×2

=d==,

所以當d=時,S取得最大值2.

所以d==,所以k=1或k=7,

所求直線l₁方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.