Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若對任意，恒成立，求的值；

（2）設(shè)，若沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)得 ，通過單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；若對任意，在上恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)，，即恒成立，得即，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性求的值.

（2），求導(dǎo)得

構(gòu)造函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，通過單調(diào)性求得的取值范圍.

解：（1），

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.

若對任意，在上恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)，，即恒成立，

得即.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，得.

所以，可得.

（2），所以

，

設(shè)，則在上是增函數(shù)，

又，

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，

即.

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即，所以在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，所以.

因?yàn)?/span>沒有零點(diǎn)，所以，

即，所以的取值范圍是.