Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點滿足方程.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）作曲線關(guān)于軸對稱的曲線,記為,在曲線上任取一點,過點作曲線的切線,若切線與曲線交于,兩點,過點,分別作曲線的切線,,證明：,的交點必在曲線上.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

(1)平方化簡,即可求解；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線l的方程,與曲線方程聯(lián)立,由韋達定理,確定兩交點A,B坐標(biāo)關(guān)系,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線,的方程,并聯(lián)立求出交點坐標(biāo),再證明滿足軌跡的方程即可.

(1)由,

兩邊平方并化簡,得,即,

所以點M的軌跡C的方程為.

(2)依題可設(shè)點,,

曲線C切于點P的切線l的斜率為,

切線l的方程為,

整理得

依題可知曲線,

聯(lián)立方程組,,

設(shè),,所以,.（*）

設(shè)曲線上點處的切線斜率為,

切線方程為,整理得,

同理可得曲線上點處的切線方程為,

聯(lián)立方程組,,

又由（*）式得,則,的交點坐標(biāo)為,

滿足曲線的方程.

即,的交點必在曲線上.