Question

2．已知實數x＞0，y＞0，且滿足x+y=1，則$\frac{2}{x}$+$\frac{x}{y}$的最小值為2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 實數x＞0，y＞0，且滿足x+y=1，可得$\frac{2}{x}$+$\frac{x}{y}$=$\frac{2（x+y）}{y}+\frac{x}{y}$=2+$\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵實數x＞0，y＞0，且滿足x+y=1，
則$\frac{2}{x}$+$\frac{x}{y}$=$\frac{2（x+y）}{y}+\frac{x}{y}$=2+$\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}$=2+2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\sqrt{2}$y=2-$\sqrt{2}$時取等號．
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．