Question

已知函數f（x）=|x²+4x+3|，關于x的實系數方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有七個實數根，則實數c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：作出f（x）的圖象，利用換元法結合一元二次函數的圖象和性質即可．

解答： 解：作出f（x）的圖象如圖：設t=f（x），
則方程等價為t²+bt+c=0，
由圖象可知，
當t=0或t＞1時，方程f（x）=t有兩個根，
當t=1時，方程f（x）=t有三個根，
當0＜t＜1時，方程f（x）=t有四個根，
要使方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有七個實數根，
則滿足t=1或0＜t＜1，
當t=1時，方程等價為1+b+c=0，
即b=-1-c，
則方程為t²+bt+c=t²+（-1-c）t+c=0，
即（t-1）（t-c）=0，
則t=c，
即0＜c＜1，
故答案為：（0，1）．

點評：本題主要考查函數和方程的應用，利用換元法結合一元二次函數的圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵．