Question

點P是函數y=x+

4

x

圖象上任意一點，過點P分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為A，B，則

PA

•

PB

=

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（x₀，x0+

4

x0

）（x₀＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四點共圓，可得∠APB=

3π

4

，由數量積定義可求．

解答： 解：設P（x₀，x0+

4

x0

）（x₀＞0），則點P到直線y=x和y軸的距離分別為
|PA|=\frac|x0-(x0+

4

x0

)|=

2 2

x0

，|PB|=x₀．
∵O、A、P、B四點共圓，所以∠APB=π-∠AOB=

3π

4

∴

PA

•

PB

=

2 2

x0

•x₀•cos

3π

4

=-2
故答案為：-2．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及點到直線的距離公式和四點共圓的性質，屬中檔題．