Question

8．不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集為（　　）

• A． {x|1＜x＜2}
• B． {x|x＜1或x＞2}
• C． ∅
• D． {x|0＜x＜1或x＞2}

Answer 1

分析 把不等式兩邊化為同底數，然后對x分類求解得答案．

解答 解：由x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$，得x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜x^-1，
當0＜x＜1時，有$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＞-1=lo{g}_{\frac{1}{2}}2$，得0＜x＜2，∴0＜x＜1；
當x=1時，不等式不成立；
當x＞1時，有$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜-1=lo{g}_{\frac{1}{2}}2$，得x＞2，∴x＞2．
綜上，不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集為{x|0＜x＜1或x＞2}．
故選：D．

點評 本題考查指數不等式與對數不等式的解法，考查了分類討論的數學思想方法，是中檔題．