Question

11．設函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）當a=-$\frac{10}{3}$時，討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（3）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，0]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，結合二次函數的性質求出滿足條件的a的范圍即可；
（3）根據函數的單調性得到b≤a-2在a∈[-2，2]上恒成立．所以 b≤-2-2，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
當a=-$\frac{10}{3}$時，f′（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=2．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（-∞， 0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，2）	2	（2， +∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	?↘	極小值	?↗	極大值	?↘	極小值	?↗

所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上是增函數，在（-∞，0）和（$\frac{1}{2}$，2）上是減函數．
（2）f′（x）=x（4x²+3ax+4），顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
由于f（x）僅在x=0處有極值，則方程4x²+3ax+4=0有兩個相等的實根或無實根，△=9a²-64≤0，
解此不等式，得-$\frac{8}{3}$≤a≤$\frac{8}{3}$．這時，f（0）=b是唯一極值．
因此滿足條件的a的取值范圍是$[{-\frac{8}{3}，\frac{8}{3}}]$．
（3）由（2）知，當a∈[-2，2]時，4x²+3ax+4＞0恒成立．
所以 當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）在區間（-∞，0]上是減函數．
因此函數f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）．
又因為對任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，0]上恒成立，
所以 f（-1）≤1，即3-a+b≤1．
于是b≤a-2在a∈[-2，2]上恒成立．所以 b≤-2-2，
即b≤-4．因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．