Question

5．在極坐標系中，已知曲線C₁的極坐標方程ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$，曲線C₁，C₂相交于A，B兩點．以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）求A，B兩點的極坐標；
（2）曲線C₁與直線l分別相交于M，N兩點，求線段MN的長度．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的極坐標方程ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$，得ρ²cos$\frac{π}{3}$=8，所以ρ²=16，求出ρ，即可求A，B兩點的極坐標；
（2）利用參數的幾何意義，求線段MN的長度．

解答 解：（1）由曲線C₁的極坐標方程ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$，得ρ²cos$\frac{π}{3}$=8，所以ρ²=16，即ρ=±4
所以A，B兩點的極坐標為：A（4，$\frac{π}{6}$），B（-4，$\frac{π}{6}$）…（4分）
（2）由曲線C₁的極坐標方程得其直角坐標方程為x²-y²=8，…（5分）
將直線$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²-y²=8整理得t²+2$\sqrt{3}$t-14=0…（6分）
即t₁+t₂=-2$\sqrt{3}$，t₁•t₂=-14，…（8分）
所以|MN|=$\sqrt{（-2\sqrt{3}）^{2}-4×（-14）}$=2$\sqrt{17}$．   …（10分）

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的互化公式、此時方程化為普通方程、弦長公式等基礎知識與基本技能方法．