Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，記f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，fn(x)=fn-1′(x)，(n∈N*，n≥2)，則f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2012(

π

2

)=

0

．

Answer 1

分析：利用三角函數求導法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結果，歸納其中的規律，發現標號的周期性為4，再將

π

4

代入，每四項的和是一個常數，即可求得正確答案．

解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f1(

π

2

)+f2(

π

2

)+…+f2012(

π

4

)=4[f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+f₃（

π

2

）+f₄（

π

2

）]=0．
故答案為0．

點評：本題考查三角函數的導數、周期性、及觀察歸納思想的運用，屬于基礎題．熟練掌握三角函數的求導法則，利用其中的函數周期性則解決本題的關鍵．