Question

已知數列，滿足，，且對任意的正整數，和均成等比數列.

（1）求、的值；

（2）證明：和均成等比數列；

（3）是否存在唯一正整數，使得恒成立？證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查數列的求值，等比數列的證明和研究不等式的恒成立問題.（1）通過題設條件給出的數列關系，求出數列的初始值；（2）根據等比數列的定義，分別得到證明，其中應說明第一項不為零；（3）探求是否存在唯一的正整數使得恒成立分兩步求解，先通過數列，的單調性得到，再證明證整數時唯一的，求解有關數列的綜合問題，主要是要明確解題方向，合理利用數列的相關性質化難為易，化繁為簡，同時還要注意解題步驟的規范性和嚴謹性.

試題解析：（1）依題意，；

（2）證明：依題意，對任意正整數有，即，

，

又，數列是首項為，公比為的等比數列，

，又，

數列是首項為，公比為的等比數列.

（3）由（2）得，解得，顯然，數列是單調遞增的數列，是單調遞減的數列，即存在正整數，使得對任意的，有，

又令得，而，，，

，解得，即對任意的且時，，

正整數也是唯一的.

綜上所述，存在唯一的正整數，使得對任意的，有.

考點：等差數列、等比數列的性質，數列不等式的恒成立問題.