Question

已知f（x）=x

1

-n2+2n+3

（n∈Z）的圖象在[0，+∞）上單調(diào)遞增，解不等式f（x²-x）＞f（x+3）

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，求出n的值，討論n的取值對應(yīng)的函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出不等式f（x²-x）＞f（x+3）的解集來．

解答： 解：根據(jù)題意，

1

-n2+2n+3

＞0，
即-n²+2n+3＞0，
解得-1＜n＜3；
又∵n∈Z，
∴n=0，1，2；
當n=0時，f(x)=x

1

3

，
當n=1時，f(x)=x

1

4

，
當n=2時，f(x)=x

1

3

；
∴當n=0或2時，f(x)=x

1

3

，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
∵f（x²-x）＞f（x+3），
∴x²-x＞x+3，
解得x＜-1或x＞3，
∴原不等式的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）；
當n=1時，f(x)=x

1

4

，函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x²-x）＞f（x+3），
∴

x2-x≥0 x+3≥0 x2-x＞x+3

，
解得-3≤x＜-1或x＞3，
∴原不等式的解集為[-3，-1）∪（3，+∞）．

點評：本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時容易忽略第一個條件，直接去研究如何解不等式，題目中給出的所有條件都是對題目的詮釋，是綜合題．