Question

在直角三角形ABC中，斜邊BC為10，以BC中點為圓心，作半徑為3的圓，分別交BC于P、Q兩點，設L=|AP|²+|AQ|²+|PQ|²，試問L是否為定值？如果是定值，求出定值，反之說明理由．

Answer 1

分析：由題意可得|PQ|=6，根據直角三角形的性質得到|OA|=

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|BC|=5．然后分別在△AOP、△AOQ中利用余弦定理求出|AP|²、|AQ|²的表達式，由∠AOP+∠AOQ=180°利用誘導公式化簡，可得|AP|²+|AQ|²=2（OA²+OP²）=68，從而算出L=|AP|²+|AQ|²+|PQ|²=104，可得答案．

解答：解：根據題意，可得|OP|=|OQ|=3．
∵O為Rt△ABC的斜邊中點，∴|OA|=

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|BC|=5，
在△AOP中，根據余弦定理，
可得|AP|²=|OA|²+|OP|²-2|OA|•|OP|cos∠AOP…①．
同理在△AOQ中，|AQ|²=|OA|²+|OQ|²-2|OA|•|OQ|cos∠AOQ…②．
∵∠AOP+∠AOQ=180°，可得cos∠AOP+cos∠AOQ=0
∴將①、②相加，可得|AP|²+|AQ|²=2（|OA|²+|OP|²）=2（25+9）=68
又∵|PQ|²=4|OP|²=36，
∴L=|AP|²+|AQ|²+|PQ|²=68+36=104，即L為定值．

點評：本題給出直角三角形中的圓，探求三角形APQ三邊的平方和是否為定值．著重考查了直角三角形的性質和余弦定理等知識，屬于中檔題．