Question

【題目】已知a為正實數，n為自然數，拋物線 與x軸正半軸相交于點A，設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求對所有n都有 成立的a的最小值；
（3）當0＜a＜1時，比較 與 的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線 與x軸正半軸相交于點A，∴A（ ）

對 求導得y′=﹣2x

∴拋物線在點A處的切線方程為 ，∴

∵f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=an；

（2）解：由（1）知f（n）=an，則 成立的充要條件是an≥2n3+1

即知，an≥2n3+1對所有n成立，特別的，取n=2得到a≥

當a= ，n≥3時，an＞4n=（1+3）n≥1+ =1+2n3+ ＞2n3+1

當n=0，1，2時，

∴a= 時，對所有n都有 成立

∴a的最小值為 ；

（3）解：由（1）知f（k）=ak，下面證明：

首先證明：當0＜x＜1時，

設函數g（x）= x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，則g′（x）= x（x﹣ ）

當0＜x＜ 時，g′（x）＜0；當 時，g′（x）＞0

故函數g（x）在區間（0，1）上的最小值g（x）min=g（ ）=0

∴當0＜x＜1時，g（x）≥0，∴

由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此 ，

從而 = ≥ = ＞ =

【解析】（1）根據拋物線 與x軸正半軸相交于點A，可得A（ ），進一步可求拋物線在點A處的切線方程，從而可得f（n）；（2）由（1）知f（n）=an ， 則 成立的充要條件是an≥2n3+1，即知，an≥2n3+1對所有n成立，當a= ，n≥3時，an＞4n=（1+3）n＞2n3+1，當n=0，1，2時， ，由此可得a的最小值；（3）由（1）知f（k）=ak ， 證明當0＜x＜1時， ，即可證明：