Question

【題目】對于數集X={﹣1，x1 ， x2 ， …，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn ， n≥2，定義向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意 ，存在 ，使得 ，則稱X具有性質P．例如{﹣1，1，2}具有性質P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性質P，求x的值；
（2）若X具有性質P，求證：1∈X，且當xn＞1時，x1=1；
（3）若X具有性質P，且x1=1、x2=q（q為常數），求有窮數列x1 ， x2 ， …，xn的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：選取 =（x，2），則Y中與 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，

又∵x＞2，∴只有b=2，從而x=4．

（2）解：取 =（x1，x1）∈Y，設 =（s，t）∈Y，滿足 ，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t異號．

因為﹣1是數集X中唯一的負數，所以s、t中的負數必為﹣1，另一個數是1，所以1∈X，

假設xk=1，其中1＜k＜n，則0＜x1＜1＜xn．

再取 =（x1，xn）∈Y，設 =（s，t）∈Y，滿足 ，可得sx1+txn=0，

所以s、t異號，其中一個為﹣1

①若s=﹣1，則x1=txn＞t≥x1，矛盾；

②若t=﹣1，則xn=sx1＜s≤xn，矛盾；

說明假設不成立，由此可得當xn＞1時，x1=1．

（3）解：[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

記Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n

先證明若Ak+1具有性質P，則Ak也具有性質P．

任取 =（s，t），s、t∈Ak，當s、t中出現﹣1時，顯然有 滿足

當s、t中都不是﹣1時，滿足s≥1且t≥1．

因為Ak+1具有性質P，所以有 =（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得 ，從而s1、t1其中有一個為﹣1

不妨設s1=﹣1，

假設t1∈Ak+1，且t1Ak，則t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，與s∈Ak矛盾．

所以t1∈Ak，從而Ak也具有性質P．

再用數學歸納法，證明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

當n=2時，結論顯然成立；

假設當n=k時，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性質P，則xi=qi﹣1，i=1，2，…，k

當n=k+1時，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性質P，則Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性質P，

所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．

取 =（xk+1，q），并設 =（s，t）∈Y，滿足 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1

若t=﹣1，則xk+1= ，不可能

所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk綜上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

[解法二]設 =（s1，t1）， =（s2，t2），則 等價于

記B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數集X具有性質P，當且僅當數集B關于原點對稱

注意到﹣1是集合X中唯一的負數，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1個數．

所以B∩（0，+∞）也有n﹣1個數．

由于 ＜ ＜ ＜…＜ ，已經有n﹣1個數

對以下三角形數陣： ＜ ＜ ＜…＜ ，

＜ ＜ ＜…＜

注意到 ＞ ＞ ＞…＞ ，所以 = =…=

從而數列的通項公式是xk=x1（ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．

【解析】（1）在Y中取 =（x，2），根據數量積的坐標公式，可得Y中與 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，結合x＞2，可得x的值．（2）取 =（x1 ， x1）， =（s，t）根據 ，化簡可得s+t=0，所以s、t異號．而﹣1是數集X中唯一的負數，所以s、t中的負數必為﹣1，另一個數是1，從而證出1∈X，最后通過反證法，可以證明出當xn＞1時，x1=1．（3）[解法一]先猜想結論：xi=qi﹣1 ， i=1，2，3，…，n．記Ak═{﹣1，x1 ， x2 ， …，xk}，k=2，3，…，n，通過反證法證明出引理：若Ak+1具有性質P，則Ak也具有性質P．最后用數學歸納法，可證明出xi=qi﹣1 ， i=1，2，3，…，n；
[解法二]設 =（s1 ， t1）， =（s2 ， t2），則 等價于 ，得到一正一負的特征，再記B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則可得結論：數集X具有性質P，當且僅當數集B關于原點對稱．又注意到﹣1是集合X中唯一的負數，B∩（﹣∞，0）={﹣x2 ， ﹣x3 ， ﹣x4 ， …，﹣xn}，共有n﹣1個數，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1個數．最后結合不等式的性質，結合三角形數陣加以說明，可得 = =…= ，最終得到數列的通項公式是xk=x1（ ）k﹣1=qk﹣1 ， k=1，2，3，…，n．
【考點精析】利用元素與集合關系的判斷對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一．