Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點M、N分別為線段A₁B、AC₁的中點．
（1）求證：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）若D在邊BC上，AD⊥DC₁，求證：MN⊥AD．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用三角形中位線定理可證MN∥BC，即可判定MN∥平面BB₁C₁C．
（2）利用線面垂直的性質可證CC₁⊥AD，結合已知可證AD⊥平面BB₁C₁C，從而證明AD⊥BC，結合（1）知，MN∥BC，即可證明MN⊥AD．

解答 （本題滿分為14分）
證明：（1）如圖，連接A₁C，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C為平行四邊形，
又∵N分別為線段AC₁的中點．
∴AC₁與A₁C相交于點N，即A₁C經過點N，且N為線段A₁C的中點，…2分
∵M為線段A₁B的中點，
∴MN∥BC，…4分
又∵NN?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C…6分
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
又AD?平面ABC₁，所以CC₁⊥AD，…8分
∵AD⊥DC₁，DC₁?平面BB₁C₁C，CC₁?平面BB₁C₁C，CC₁∩DC₁=C₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，…10分
又∵BC?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BC，…12分
又由（1）知，MN∥BC，
∴MN⊥AD…14分

點評 本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質的應用，考查了數形結合思想，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．